Ο Ανδρέας Αναγνωστάκης γεννήθηκε το 1826 στα Αντικύθηρα. Σπούδασε ιατρική στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και αναγορεύθηκε διδάκτορας το 1849, σε ηλικία μόλις 23 ετών. Μετεκπαιδεύτηκε στην Αυστρία, Γερμανία και Γαλλία. Το 1857 εφηύρε το φορητό οφθαλμοσκόπιο, διαδίδοντας στην παγκόσμια οφθαλμολογική κοινότητα τη χρήση του οργάνου αυτού. Το 1854 επέστρεψε στην Ελλάδα και διορίστηκε Διευθυντής του «Νοσοκομείου Οθφαλμιόντων εν Αθήναις», του οποίου και θα αλλάξει το όνομα σε «Οφθαλμιατρείο», ονομασία που διατηρείται μέχρι σήμερα. Το 1855 εκλέχθηκε Υφηγητής της Οφθαλμολογίας, το 1856 έκτακτος Καθηγητής της Οφθαλμιατρικής και Ωτιατρικής και το 1865 τακτικός Καθηγητής της Οφθαλμολογίας. Διετέλεσε Κοσμήτορας της Ιατρικής κατά τα ακαδημαϊκά έτη 1871-72 και 1876-77, καθώς και Πρύτανης κατά το ακαδημαϊκό έτος 1877-78. Εισήγαγε ειδική χειρουργική τεχνική για τη χειρουργική αποκατάσταση του εντροπίου που είναι γνωστή ακόμη και σήμερα ως επέμβαση Αναγνωστάκη. Υπήρξε πολυγραφότατος ιατρικός μελετητής με τα πιο δημοφιλή του έργα: Περί εγχειρήσεως του εντροπίου και της τριχιάσεως (1857), Περί οφθαλμικών παθών (1871), Περί της οπτικής των αρχαίων (1878), Περί της αντισηπτικής μεθόδου παρά τοις αρχαίοις (1889), Η ιατρική του Αριστοφάνους (1891). Διετέλεσε Πρόεδρος του Α΄ και του Β΄ Πανελλήνιου Ιατρικού Συνεδρίου (1882, 1885), Διευθυντής της «Ιατρικής Εφημερίδος» και συντάκτης του περιοδικού «Ασκληπιός». Υπήρξε ακόμη και ποιητής.